baccalaureate blanc regional 2025 épreuve zero de mathématique
baccalaureate blanc regional 2025 épreuve zero de mathématique
| Pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1, on considère le polynôme : 𝑃𝑛(𝑋) = 𝑋𝑛 + 𝑋𝑛-1 + ⋯ + 𝑋 – 1 | |
| 1. a) Montrer que la fonction 𝑋 ↦ 𝑃𝑛(𝑋) est une bijection de ℝ+ vers [-1; +∞[. | 0,25pt |
b) En déduire que 𝑃𝑛 possède une seule racine dans ℝ+, que l’on note 𝑢𝑛. 0,25pt
2. Montrer que la suite (𝑢𝑛) est décroissante et en déduire qu’elle converge. 0,5pt
| 3. Démontrer que, pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1, 𝑢𝑛 ≥ 1 2 . |
0,5pt |
4. Soit 𝑡 ∈ ] 1
2
; 1[, montrer que lim
𝑛→+∞
𝑃𝑛
( 𝑡) > 0. 0,5pt
5. Montrer que (𝑢𝑛) converge vers 1
2
. 0,5pt
| II/ Soit (𝐼𝑛)𝑛𝜖ℕ la suite numérique définie par : 𝐼𝑛 = ∫ | 𝑥 (1+𝑥)𝑛 |
01 𝑑𝑥 .
1. Calculer 𝐼0 et 𝐼1 0,75pt
2. A l’aide d’une intégration par parties, exprimer 𝐼𝑛 en fonction de 𝑛, pour 𝑛 ≥ 2. 0,75pt
3. En déduire la limite de la suite (𝐼𝑛)𝑛𝜖ℕ . 0,25pt
EXERCICE 2 : 4 points
I/ On considère la courbe (C) d’équation 𝑥𝑦 – 2𝑥 – 3𝑦 – 1 = 0 et la transformation 𝑓
du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que 𝑧′ = 1-𝑖
2
𝑧 – 2 + 2𝑖
1. Donner la nature puis les éléments caractéristiques de 𝑓. 0,5pt
2. Déterminer l’image (𝐶′) de la courbe (𝐶) par 𝑓. 0,5pt
3. En déduire la nature et un élément caractéristique de (𝐶′). 0,5pt
4. Déterminer la nature et l’excentricité de (𝐶). 0,5pt
II/ ABCDEFGH un cube dans l’espace orienté muni d’un repère orthonormé
direct (𝐴 ; ⃗𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗𝐴𝐸 ⃗⃗⃗⃗ ). Soit 𝐼 le milieu du segment [𝐸𝐹] et 𝐾 le centre du carré 𝐴𝐷𝐻𝐸.
1. a) Montrer que 𝐵𝐾 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝐺 ⃗⃗⃗⃗ ∧ ⃗𝐼𝐴 ⃗⃗⃗ . 0,5pt
b) En déduire l’aire du triangle 𝐼𝐺𝐴. 0,25pt
c) Donner une équation cartésienne du plan (𝐼𝐺𝐴). 0,25pt
d) Calculer le volume du tétraèdre 𝐼𝐺𝐴𝐶. 0,5pt
2. Déterminer l’expression analytique du demi- tour d’axe (𝐵𝐶) notée 𝑆(𝐵𝐶). 0,5pt
EXERCICE 3 3 points
Le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑂; 𝑖; 𝑗). On considère dans ℝ, l’équation
différentielle (E) : 𝑦′′ – 2𝑦′ + 2𝑦 = 0 et la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥.
1. a) Résoudre l’équation (E) dans ℝ. 0,5pt
b) Déterminer la solution de (E) dont la courbe passe par le point O et admet
| en ce point une tangente parallèle à la droite d’équation 𝑦 = 𝑥. c) En déduire toutes les primitives de 𝑓. |
0,5pt 0,5pt |
| Ministère des Enseignements Secondaires Délégation Régionale du Centre Inspection Régionale de pédagogie/Sciences |
