baccalaureate 2026 épreuve mathématiques série D et TI corrigé
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PARTIE A : Évaluation des ressources
13 points
13 points
1. Exercice 1 — Nombres complexes
5 pts
5 pts
P(z) = z3 + (-6 + 4i)z2 + (8 – 17i)z + 3 + 15i
1. Montrer que 3 est une racine de P —
(0,5 pt)
(0,5 pt)
On calcule P(3) :
P(3) = 27 + (-6 + 4i) · 9 + (8 – 17i) · 3 + 3 + 15i
= 27 – 54 + 36i + 24 – 51i + 3 + 15i = (27 – 54 + 24 + 3) + (36 – 51 + 15)i = 0 + 0i = 0.
Donc 3 est bien une racine de P. ✓
2a. Déterminer a et b tels que P(z) = (z – 3)(z2 + az + b) —
(1 pt)
(1 pt)
On effectue la division euclidienne de P(z) par (z – 3) :
P(z) = (z – 3)(z2 + (-3 + 4i)z + (-1 – 5i))
Vérification : (z – 3)(z2 + (-3 + 4i)z + (-1 – 5i))
= z3 + (-3 + 4i)z2 + (-1 – 5i)z – 3z2 – 3(-3 + 4i)z – 3(-1 – 5i)
= z3 + (-6 + 4i)z2 + (8 – 17i)z + 3 + 15i = P(z). ✓
Donc a = -3 + 4i et b = -1 – 5i.
2b. Résoudre dans ℂ : z2 + (-3 + 4i)z – 1 – 5i = 0 —
(1,5 pt)
(1,5 pt)
On calcule le discriminant Δ = (-3 + 4i)2 + 4(1 + 5i) :
(-3 + 4i)2 = 9 – 24i – 16 = -7 – 24i
Δ = -7 – 24i + 4 + 20i = -3 – 4i
On cherche δ = x + iy tel que δ2 = -3 – 4i :
x2 – y2 = -3, 2xy = -4 ⇒ xy = -2.
x2 + y2 = √9 + 16 = 5,
donc x2 = 1 et y2 = 4, soit (x, y) = (1, -2) ou (-1, 2).
On prend δ = 1 – 2i.
Les solutions sont :
z = < style=”display:inline-block; vertical-align:middle; text-align:center;”>
(3 – 4i) ± (1 – 2i)
2 z1 = 4 – 6i 2 = 2 – 3i z2 = 2 – 2i 2=1 – i
(3 – 4i) ± (1 – 2i)
2 z1 = 4 – 6i 2 = 2 – 3i z2 = 2 – 2i 2=1 – i
3. Ensemble (C) : |z – zA| = √5, avec zA = 1 – i — a) Montrer que B(2; -3) appartient à (C)
(0,25 pt)
(0,25 pt)
