probatoire blanc ESTP régional 2025 épreuve mathématiques spécialité f2 – f5
probatoire blanc ESTP régional 2025 épreuve mathématiques spécialité f2 – f5
L’épreuve comporte deux exercices et un problème répartis sur deux pages.
EXERCICE 1 : 5,5 points
I/ 1. Montrer que 4(1 + √3)2 = 16 + 8√3. 0,5pt
2. Résoudre dans ℝ l’équation (E) : -4𝑥2 + (2√3 – 2)𝑥 + √3 = 0. 1pt
| 3. Résoudre dans [0; 2𝜋] l’équation -4cos2𝑥 + (2√3 – 2) cos 𝑥 + √3 = 0. | 1,5pt |
| II/ soient A et B deux points du plan tels que AB = 4cm et (Γ) l’ensemble des points M | |
| du plan tels que ⃗MA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 5. On note K le milieu du segment [AB]. 1. Montrer que ⃗MA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = MK2 – 4. |
1pt |
2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de (Γ). 1pt
3. Construire (Γ). 0,5pt
EXERCICE 2 : 4,5 points
I/ On considère deux nombres complexes : 𝑧1 = √6-𝑖√2
2
et 𝑧2 = 1 – 𝑖.
1. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes 𝑧1 et
| 𝑧1 = 𝑧2. | 1pt |
| 2. Ecrire sous forme algébrique et sous forme trigonométrique le nombre complexe | |
| 𝑍 = 𝑧1 𝑧2 |
1pt |
. 3. En déduire les valeurs exactes de cos 𝜋
12
et sin 𝜋
12
. 1pt
II/ Soit (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ une suite arithmétique de premier terme 𝑈2 et de raison 𝑟 et telle que :
𝑈2 = -1 et 𝑈46 = 32.
1. Montrer que 𝑟 = 3
4
. 0,5pt
2. En déduire l’expression de 𝑈𝑛 en fonction de 𝑛. 0,5pt
3. Calculer la somme 𝑆
𝑛 = 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛. 0,5pt
