probatoire blanc regional 2025 épreuve zero de mathématique série D/TI

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PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (15 points)
Exercice 1 (5 points)
1-a) Soit 𝑎 et 𝑏 deux nombres réels.
Montrer que sin (𝑎 + 𝑏) + sin (𝑎 – 𝑏) = 2 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏. 0,5pt
1-b) En déduire que 𝑠𝑖𝑛7𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 𝑠𝑖𝑛10𝑥+𝑠𝑖𝑛4𝑥
2
. 0,5pt
2- Résoudre sur [- 𝜋4 ; 𝜋[ l’équation (2𝑠𝑖𝑛𝑥)2 – 3 = 0. 1pt
3- Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ;𝑖⃗ ; 𝑗⃗).
On considère trois droites d’équations respectives (D1) : 𝑥 – 𝑦 + 1 = 0 , (D2) : 𝑦 = 𝑥 et
(D3) : 𝑦 = 3
a) Construire les trois droites (D1), (D2) et (D3) 0.75pt
b) Déterminer la nature et les caractéristiques de l’application 𝑓 = 𝑆(𝐷2)𝑜𝑆(𝐷1) 1pt
c) Déterminer la nature et les caractéristiques de l’application 𝑔 = 𝑆(𝐷3)𝑜𝑆(𝐷2) 1.25pt
Exercice 2(5 points)

I-	ABC est un triangle équilatéral tel que AB= 5cm, I est le milieu de [𝐴𝐵] et G le
barycentre des points {(𝐴; 1); (𝐵; 1); (𝐶; 4)}.
1- Montrer 𝑎⃗ = 𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑀𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2⃗𝐼𝐶 ⃗⃗⃗⃗. 2- Construire le point G. 3- Exprimer 𝑢⃗⃗ = 𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝑀𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ en fonction de 𝑀𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 4- Déterminer et construire l’ensemble des points M tels ‖𝑢⃗⃗‖ × ‖𝑎⃗‖ = 45√3.	0,5pt 0,5pt 0,5pt 1pt
II-	10 personnes dont 6 filles se retrouvent autour d’une table ronde de 10 places pour organiser une visite dans un musée. Chaque participant serre la main de chacun des autres participants au début de la rencontre. Pour une meilleure

organisation un bureau est mis sur pied comprenant un président, un secrétaire
et un trésorier.

1- Quel est le nombre total de poignées de main échangées ? 2- Combien de bureau comportant au moins une fille peut-on former ? 3- De combien de façons peut-on installer tous les participants ?	0,5pt 0,75pt 0,5pt
4- De combien de façons peut-on installer tous les participants si Audrey une fille et
Alain un garçon souhaitent rester côte à côte ? Exercice 3(5 points)	0,75pt

On donne la fonction 𝑓 définie 𝐼𝑅 – {1} par : 𝑓(𝑥) = 𝑥2+𝑎𝑥+𝑏
1-𝑥
où a et b sont des nombres
réels et (Cf) est sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, I, J).

1-Calculer les limites de 𝑓 en -∞ 𝑒𝑡 + ∞.	0,5pt
2-En utilisant les relations 𝑓(3) = -2 𝑒𝑡 𝑓(-1) = 6, déterminer les valeurs exactes des
nombres a et b. 3-On suppose dans la suite de l’exercice que 𝑎 = -4 𝑒𝑡 𝑏 = 7.	1pt
a) Calculer les limites de 𝑓 à gauche et à droite en 1 et donner une interprétation
géométrique.	0,75pt

b) Montrer que la dérivée de f est : 𝑓′(𝑥) = (𝑥+1)(-𝑥+3)
(1-𝑥)2 pour tout 𝑥 ≠ 1. 0,5pt